SISTEMAS OPERATIVOS Y REDES 1ROD

SISTEMAS OPERATIVOS Y REDES

JuegoHardware y Software

Sistema de numeración Decimal_Refuerzo

1. Conversión entre sistemas

   
   
   

   CONVERSION

   
   

   2. Conversión entre números decimales y binarios

   Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.

   Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:

   77 : 2 = 38 Resto: 1

   38 : 2 = 19 Resto: 0

   19 : 2 = 9 Resto: 1

   9 : 2 = 4 Resto: 1

   4 : 2 = 2 Resto: 0

   2 : 2 = 1 Resto: 0

   1 : 2 = 0 Resto: 1

   y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

   77₁₀ = 1001101₂

   
   

   3. Conversión de binario a decimal

   El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.

   Por ejemplo, para convertir el número binario 1010011₂ a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:

   
   

   1*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 83

   1010011₂ = 83₁₀

   
   

   
   

   4. Conversión de un número decimal a octal

   La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:

   122 : 8 = 15     Resto: 2

   15 : 8 = 1           Resto: 7

   1 : 8 = 0               Resto: 1

   Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:

   122₁₀ = 172₈

   5. Conversión octal a decimal

   La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:

    2*8² + 3*8¹ + 7*8⁰ = 128 + 24 + 7 = 159₁₀

   237₈ = 159₁₀

   6. Conversión de números binarios a octales y viceversa

   Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal, binario y octal:

   DECIMAL	BINARIO	OCTAL
   0	000	0
   1	001	1
   2	010	2
   3	011	3
   4	100	4
   5	101	5
   6	110	6
   7	111	7

   
   

   Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de conver¬tir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos bi¬narios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.

   
   

   Por ejemplo, para convertir el número binario 101001011₂ a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:

   101₂ = 5₈

   001₂ = 1₈

   011₂ = 3₈

   y, de ese modo: 101001011₂ = 513₈

   7. Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa

   Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:

   
   

   DECIMAL	BINARIO	HEXADECIMAL
   0	0000	0
   1	0001	1
   2	0010	2
   3	0011	3
   4	0100	4
   5	0101	5
   6	0110	6
   7	0111	7
   8	1000	8
   9	1001	9
   10	1010	A
   11	1011	B
   12	1100	C
   13	1101	D
   14	1110	E
   15	1111	F

   
   

   La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "con¬trayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal: 

   1010₂ = A₁₆

   0111₂ = 7₁₆

   0011₂ = 3₁₆

   y, por tanto: 101001110011₂ = A73₁₆

   
   

   En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:

    101110₂ = 00101110₂ = 2E₁₆

   
   
2. NOV

   
   

   8

   
   

   
   

   Sistemas numéricos usados en la actualidad

   
   
   

   Sistema de numeración decimal:

   El sistema de numeración que utiliza­mos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígi­tos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.

   El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la de­recha.

   En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:

   
   

   5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:

   5*10² + 2*10¹ + 8*10⁰ o, lo que es lo mismo:

   500 + 20 + 8 = 528

   
   

   En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concreta­mente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número8245,97 se calcularía como:

   
   

   8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos

   8*10³ + 2*10² + 4*10¹ + 5*10⁰ + 9*10^-1 + 7*10^-2, es decir:

   8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97

   Sistema de numeración binario.

   El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).

   En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.

   De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:

   1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ , es decir:

   8 + 0 + 2 + 1 = 11

   y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:

   1011₂ = 11₁₀

   Sistema de numeración octal

   El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal.

   En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lu­gar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.

   Por ejemplo, el número octal 273₈ tiene un valor que se calcula así:

   2*8³ + 7*8² + 3*8¹ = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 1496₁₀

   
   273₈ = 1496₁₀

   Sistema de numeración hexadecimal

   En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decima­les 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.

   Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F₁₆:

   1A3F₁₆ = 1*16³ + A*16² + 3*16¹ + F*16⁰

    
   1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

   
   1A3F₁₆ = 6719₁₀
   

   Sistema de numeración inca

3. 
   

   Los Incas desarrollaron una manera de registrar cantidades y representar números mediante un sistema de numeración decimal posicional: un conjunto de cuerdas con nudos que denominaba quipus ("khipu" en quechua: nudo).

   La primera información que se dispone se debe a la obra que escribiera Felipe Guaman Poma de Ayala al rey de España, en la "Nueva crónica y buen gobierno", con varios dibujos de quipus.

   Un quipu consiste en un conjunto de cuerdas, con una disposición particular, en las que se hacen una serie de nudos.

   Se empleaban distintos tipos de cuerda, cada una tenía al menos dos hebras:

   • Cuerda principal: La más gruesa, de la que parten directa o indirectamente todas las demás.
   • Cuerdas colgantes: Las que penden de la principal hacia abajo.
   • Cuerdas superiores: Las que se enlazan a la principal, dirigidas hacia arriba. Una de sus utilidades era la de agrupar cuerdas colgantes. Otra, usada con frecuencia, era representar la suma de los números expresados en las cuerdas colgantes.
   • Cuerda colgante final: Su extremo en forma de lazo, está unido y apretado al extremo de la cuerda principal. Esta cuerda no aparece en todos los quipus.
   • Cuerdas secundarias o auxiliares: Se unen a otra que esta enlazada a la principal. Se les podía a su vez unir otra cuerda auxiliar. Se ataba a la mi
   • itad de la cuerda de la que precedía.

   Los quipus tenían un mínimo de tres cuerdas, el máximo podía llegar a 2.000.

   Un aspecto importante a considerar era el color de las cuerdas. El color era el código primario que se utilizaba para identificar lo que representaba el número almacenado en dicha cuerda. Así utilizaban el blanco, para la plata, el amarillo para el oro, el rojo para los soldados.

   A excepción de la cuerda principal, en cada una de las cuerdas se representaba un número mediante grupos de nudos y empleando un sistema de numeración posicional.

   Cada grupo de nudos correspondía a una potencia de diez y las diferentes posiciones de estos grupos indicaban a que potencia de diez correspondía dicha posición.

   En cada cuerda se representaban los números poniendo en lo más alto la decena de millar, después la unidad de millar, y así hasta llegar a la unidad en el extremo inferior de la cuerda.

   Cuando se leía el número representado en una cuerda colgante, había que contar cuántos nudos había que contar cuántos nudos había en el grupo más cercano a la cuerda principal, ese nos daría el valor del primer dígito de mayor valor del número. al pasar a un nuevo grupo de nudos en esa misma cuerda, iríamos bajando al dígito del orden inmediatamente inferior, hasta llegar al extremo, donde se encuentran las unidades.

   Para distinguir al grupo de nudos correspondientes a las unidades de los demás grupos, se empleaban tres tipos (dos de ellos para las unidades):

   • Nudo largo con cuatro vueltas: Indicaba que el grupo de nudos correspondía al orden de las unidades y se empleaba cuando el dígito de este orden era superior a uno, En ese caso se ponían tantos nudos como indicase el dígito.
   • Nudo flamenco o en forma de ocho: Indicaba también la posición de las unidades, el dígito debía ser "1". Por lo tanto en las unidades solo aparecía un nudo de este tipo.
   • Nudo corto o sencillo: Se empleaba en las restantes posiciones, tantos como correspondiese al dígito a representar.

   Para representar el "cero" en alguna posición, no se colocaba ningún nudo. Para que la ausencia de nudos no confundiera, era dundamental que el espacio situado entre los grupos de nudos fuese aproximadamente siempre el mismo.

   
   

    Los quipucamayu "guardianes de los nudos", tenían la labor de llevar la actualización y almacenamiento de los registros.

   

   
   

   
   

   
   
   

   NOV
4. 
   

   8

   
   

   
   

   Sistema de numeración chino

   
   
   

    Sistema de numeración

   
   

    La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura 

   
   

   

   
   

   
   

   y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75. 
   

   Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aun así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10.

   
   

   

   
   

   
   

     Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para el documento importante se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.

Ejercicio 1:

Expresa, en código binario, los números decimales siguientes:  191, 25, 67, 99, 135, 276